தமிழரின் தோற்றுவாய்? எங்கிருந்து தமிழர்?-பகுதி:28


தொகுத்தது:கந்தையா தில்லைவிநாயகலிங்கம்


"எண்ணாகி யெண்ணுக்கோ ரெழுத்து மாகி.."/"சொல்லாகிச் சொல்லுக்கோர் பொருளு மாகிச்"-திருநாவுக்கரசர்

நாம் "300" என்பதை குறிக்கும் போது இரண்டு குறியீடுகளை பாவிக்கிறோம்."3" ம் ஒரு சோடி "0" ஆகும்.
ஆனால்,நாம் சுமேரியன் மாதிரி பூச்ச்சியத்திற்கான ஒரு குறியீடு எம்மிடம் இல்லை என்றால் என்ன நடக்கும்? அவர்கள் "60"[Babylonian  1.svg ] ஐ ,"1" [Babylonian  1.svg ] மாதிரியே எழுதுவார்கள்.அதே மாதிரி அவர்களின் "10"[Babylonian 10.svg],   "10" அல்லது "10 x 60"...இப்படி அதன் பெறுமானத்தை பெரும்.அப்படி என்றால் இது ஏன் அவர்களுக்கு ஒரு பெரும் பிரச்சனையாக இருக்கவில்லை? சந்தர்ப்பம் சூழ்நிலைகள் அவர்களுக்கு உதவி செய்திருக்கலாம் என தெரிகிறது.சந்தர்ப்பம் சூழ்நிலைகள் என்பதால் நாம் கருதுவது அந்த எண்கள் அமைந்து இருக்கும் வசனங்களை பொறுத்து என்பதாகும் . ஆகவே ஒரு உதாரணத்தை கிழே விளக்கத்துடன் தருகிறோம். 

 

"ஒரு ஏழை மீனவன் ஆக "Y " படகுகள் மாத்திரம் வைத்திருந்தான். அவனிற்கு எல்லாம் சரியாக இருந்தால்,அவன் ஒரு நாளைக்கு "<<" மீன்களை பிடிப்பான்.ஒரு மாதத்தில் அவன் கிட்டத்தட்ட "    ".மீன்களை பிடித்தான்.இந்த காலத்தில் அவன் குடும்பம் சாப்பிட "" மீன் தேவைப் படுகிறது.மிகுதியை அவன் மற்றவர்களுக்கு விற்றான். "நாம்  இப்ப சாத்தியமான விபரங்களை கிழே தருகிறோம். 



படகுகள்: "Y" என்பது 1 ஐ அல்லது 1 x 60 ஐ அல்லது 1 x 60 x 60 ஐ ...இப்படி ஏதாவது ஒன்றை குறிக்கும்.ஆனால் அவன் ஒரு ஏழை மீனவன்.ஆகவே அவனால் 60 படகுகளோ அல்லது  அதற்கு மேலோ வைத்திருக்க முடியாது. ஆகவே சாத்தியமான பதில்:அவன் ஒரு படகு மாத்திரமே வைத்திருந்தான் என்பதே ஆகும் 

ஒரு நாளில் பிடித்த மீன்களின் தொகை: "<<" என்பது 20 அல்லது 20 x 60 அல்லது 20 x 60 x 60,....... இப்படி ஏதாவது ஒன்றை குறிக்கும்.அவனிடம் ஒரு சிறு படகு மட்டுமே இருக்கிறது,அதில்  20 x 60=1200 மீன்களோ அல்லது அதற்கு மேலோ சேமித்து வைக்க முடியாது.ஆகவே அவன் ஒரு நாளைக்கு கிட்டத்தட்ட 20 மீன்கள் மட்டுமே பிடித்திருப்பான்.

ஒரு மாதத்தில் பிடித்த மீன்களின் தொகை:ஒரு மாதம் என்பது பொதுவாக 30 நாளை கொண்டிருக்கும்.ஆகவே அவன் கிட்டத்தட்ட 600 [=20 x 30]மீன்கள் பிடித்திருப்பான். "     " என்பது  9 x 60 + 50 = 590 ஐ குறிக்கும்.அது ஓரளவு சரியே.அல்லது அது   9 x 60 x 60 + 50 x 60 = ,....என ஏதாவது ஒன்றை குறிக்கும்.இது நடைமுறை சாத்தியம் அற்ற மிகப் பெரிய தொகை.ஆகவே அவன் பிடித்த மீன் ஒரு மாதத்திற்கு 590 ஆகும்.  

அவன் குடும்பம் ஒரு மாதத்திற்கு சாப்பிட்ட மீனின் தொகை:"" என்பது 5,இது மிக மிக குறைந்த தொகை அல்லது 5 x 60 = 300,இது ஏற்றுக் கொள்ளக் கூடிய சாத்தியமான தொகை, அல்லது  5 x 60 x 60 = 18,000,இது மிக மிக கூடிய தொகை. ஆகவே அவனின் குடும்பம் ஒரு மாதத்திற்கு சாப்பட்டது 300 ஆகும். 

ஒரு மாதத்தில் விற்ற மீனின் தொகை:மீனவனிடம் 1 படகு உண்டு,ஒரு நாளில் அவன் கிட்டத்தட்ட 20 மீன்கள் பிடித்தான்.ஒரு மாதத்தில் மொத்தமாக 590 மீன் பிடித்தான்.அதில் 300 மீன் அவன் குடும்பம் தமது உணவிற்கு பாவித்து விட்டது.ஆகவே அவன்  590-300=290 மீன் விற்று உள்ளான்.அதாவது ஒரு நாளைக்கு 9 அல்லது 10 மீன் ஆகும். 




நாம் "எண்கள் இடம் சார்ந்த முறையில்"[positional notation] ,பெரிய எண்களை மட்டும் இன்றி, சிறிய எண்களையும் குறிக்கிறோம். அதாவது  1/4[கால்] ஐ 0.25 ஆக 2 ஐ பத்தில் ஒன்று இடத்திலும் 5 ஐ நூற்றில் ஒன்று இடத்திலும் நாம் எழுதலாம். மெசொப்பொத்தேமியா மக்கள் இதற்கு ஒத்திசைவான முறையில் 1/60, 1/3600,.....போன்ற இடத்தை அறிமுகப் படுத்தினார்கள். 60 என்ற எண் பல காரணிகளை கொண்டிருப்பதால் சிறிய எண்களை எம்மை விட இலகுவாக குறிப்பிட்டார்கள். உதாரணமாக  1/4 = 15/60 ஆக இருப்பதால் இந்த பின்னத்தை மெசொப்பொத்தேமியா மக்கள் 1/60 இடத்தில் 15 என மட்டும் குறித்து எடுத்து காட்டினார்கள்.இந்த முறையின் நன்மையை மிகவும் அடையாளம் காட்டக்கூடிய உதாரணமாக 1/3 ஐ எடுக்கலாம்.நாம் இதனை எமது நவீன முறையில் காட்ட சிரமப்படும் போது,அவர்கள் அதை பற்றி ஒன்றும் கவலை படாமல் மிக இலகுவாக  1/60 இடத்தில் 20 என குறிப் பிட்டார்கள் என்பது கவனிக்கத் தக்கது.


மேலே காட்டப்பட்ட தலை கீழ் அட்டவணை,60 ஐ அடியாக கொண்ட எண் முறையின் நன்மையை எடுத்து விளக்குகிறது .என்றாலும் இது ஒரு முழுமையான  குறை நீக்கும் மருந்து அல்ல.1/7  என்ற தலை கீழ் எண்ணை முழுமையாக விவரிக்க முடியாது.இப்படியான தலை கீழ் எண்களை,உதாரணமாக  1/7, 1/11, 1/13,  போன்றவற்றை அவர்கள் கவனத்தில் கொள்ளாமல்,அவைகளை கைவிட்டு அட்டவனையை தயாரித்தார்கள்.இதனால் அவர்களின் அட்ட வணையில் சில இடை வெளி இருந்தன.

சுமேரியர் பின்னத்தை தலை கீழ் எண்ணின் பெருக்கமாக கையாண்டார்கள்.உதாரணமாக 19 ஐ 12 ஆல் பிரிப்பதற்கு பதிலாக 19 ஐ 12 இன் தலை கீழால் பெருக்கினார்கள்.அதாவது a/b இக்கு பதிலாக a/b = a x (1/b) ஆக கருதினார்கள்.இதனால் அவர்கள் மேலே காட்டிய வாறு,தலை கீழ் அட்டவணை ஒன்றை தயாரித்தார்கள்.அது மட்டும் அல்ல அவர்கள் வர்க்கங்களின் ,கனங்களின் ,வர்க்க மூலத்தின்,கனமூலத்தின் அட்டவணைகள் தயாரித்ததுடன்  கேத்திர கணித பயிற்சி கொண்ட ,பிரித்தல் புதிர்கள் கொண்ட,  வில்லைகளும் கி மு 2600 ஆண்டு தொடக்கம் வைத்திருந்ததார்கள்.என்றாலும் அவர்களின் கேத்திர கணித பயிற்சி சில வேளை பிழையாகவும் இருந்தன.இயூபிரட்டீசு ஆற்று பகுதியில் கி பி 1854 இல் கண்டு எடுக்கப்பட்ட கி மு 2000 ஆண்டை சேர்ந்த இரு வில்லைகள்  எண் 59 வரை வர்க்கங்களையும் எண் 32 வரை கனத்தையும் கொடுக்கின்றன.இந்த அட்டவணை 82= 1,4 எண் கொடுக்கிறது.அதாவது = (1 x 60) + 4 = 64 ஆகும்,அப்படியே .59² = 58, 1 = ( 58 x 60) +1 = 3481 என்று கொடுக்கிறது.இந்த கணித வல்லுனர்கள்  இரு வெவ்வேறு  எண்களை பெருக்க ab = [(a + b)2 - a2 - b2]/2 என்ற சமன் பாட்டையும் பாவித்துள்ளார்கள். அவர்களுக்கு வர்க்கங்கள் அட்டவணை மூலம் தெரியும் என்பதால் இந்த முறை அவர்களுக்கு இலகுவாகவும் இருந்தது.அதன் பின் கி பி 1800 தொடக்கம் 1600 வரை பபிலோனியன்  வில்லைகள் பல கணித விடயங்களை கொண்டிருந்தன.உதாரணமாக  அட்சர கணிதம்,ஒரு படிச் [நேரியல் சமன்பாடு],இரு படிச்,சில முப்படிச்  சமன் பாடுகளை தீர்க்கும் முறைகளை அறிந்து இருந்தார்கள். அத்துடன் வட்டத்தின் அளவுகளையும் தெரிந்து இருந்தனர்.இன்னும் ஒரு பபிலோனியன் வில்லை[YBC 7289] √2 க்கான பெறுமானத்தை அண்ணளவாக 5 ந்து தசம இடங்களுக்கு கொடுத்து உள்ளது.இன்னும் ஒரு வில்லை  π யின் பெறுமானத்தை  3 1⁄8 (3.125] ஆக மதிப்பிட்டு உள்ளது.π யின் உண்மையான பெறுமானம்  3.1416 ஆகும்.

மேலும் வட்டத்திற்கான சில இயல்புகளை  காக்கைப்பாடினியம் என்ற தொன்மையான தமிழ் நூல் ஒன்றும் விளக்கு கின்றது .தொல்காப்பியருக்கு முந்தைய காலத்தைச் சேர்ந்த காக்கைப்பாடினியார். (தொல்காப்பியர் காலம் எனபது கி.மு.711 ஆகும்.) எழுதிய அற்புதமான கணித நூல் இதுவாகும்  இது செய்யுள் வடிவில் எழுதப் பட்டுள்ளது.ஏரம்பம் என்பதே மிகப்பழைய கணக்கியல் நூலென்றும் தற்போது அது மறைந்து விட்டதாகவும் தேவநேயப் பாவாணர் குறிப்பிட்டுள்ளார். அதை தவிர காக்கை பாடினியாரும் காரிநாயனாரும் கணக்கியல் நூல்களை எழுதி இருக்கின்றனர்.

"விட்டமோர் ஏழு செய்து 
திகைவர நான்கு சேர்த்து
சட்டென இரட்டி செயின்
திகைப்பன சுற்றுத்தானே"-காக்கைப் பாடினியம்

இதன்படி விட்டத்தை "வி" என எடுத்துக்கொண்டால்,

திகைவர = "வி" ஆகும்
விட்டமோர் ஏழு செய்து = வி/7 ஆகும்
நான்கு சேர்த்து = வி + 4*(வி/7) ஆகும்
சட்டென இரட்டி செயின் = (2 (வி + (4வி/7) ஆகும்.
இதன்படி செய்தால் (2 * ((11 வி) / 7)= 22/7 * வி. இதுவே தற்போது வழங்கப்பட்டுவரும் வட்டத்தின் சுற்றளவு ஆகும் πD ).

ஆகவே இங்கு  π என்பது 22/7 ஆகிறது. இது ஓரளவுக்குத் துல்லியமான பெறுமானமே.இன்றும் நாம் அண்ணளவாக இதை பாவிக்கிறோம் என்பதும் குறிப்பிடத்தக்கது.அது மட்டும் அல்ல இன்று நாம் பயன்படுத்தும் வட்டத்தின் சுற்றளவு = 2 π r என்ற சூத்திரத்தை நம் முன்னோர்கள் பல நூறு ஆண்டுகளுக்கு முன்பே அறிந்துள்ளனர் என்று அறியும் போது உண்மையில் நாம் பெருமைப்பட்டுக் கொள்ளலாம்! 

வட்டத்திற்கான சுற்றளவை கணக்கதிகாரம் என்ற தொன்மையான நூலும் விளக்குகின்றது.இதிலும் வட்டதிற்கான சுற்றளவை செய்யுள் வடிவில் கூறி உள்ளது. 

கணக்கதிகாரப் பாடல் : 50 

விட்ட மதனை விரைவா யிரட்டித்து
மட்டுநாண் மாதவனில் மாறியே – எட்டதனில்
ஏற்றியே செப்பியடி லேறும் வட்டத்தளவும்
தோற்றுமெப் பூங்கொடி நீ சொல் “

இதன்படி,

விட்டம்தனை விரைவா யிரட்டித்து = விட்டத்தின் இரு மடங்கு = 2r + 2r = 4r (விட்டம் = 2r ); மட்டு நாண் மாதவனில் மாறியே = 4 ஆல் பெருக்கு; எட்டதனில் ஏற்றியே = 8 ஆல் பெருக்கு; செப்பியடி = 20 ஆல் வகு.

வட்டத்தின் சுற்றளவு = ( 4r x 4 x 8 ) / 20 = 32 / 5 r = 2 ( 16/5) r = 2 π r

இங்கு π = 16 / 5 = 3.2.இதுவும் ஒரு ஓரளவுக்குத் துல்லியமான பெறுமானமே!

(பகுதி 29‏,அடுத்த வாரம் தொடரும்)

2 comments:

  1. கந்தையா தில்லைவிநாயகலிங்கம்Saturday, September 20, 2014

    ...ஆனால்,நாம் சுமேரியன் மாதிரி பூச்ச்சியத்திற்கான ஒரு குறியீடு எம்மிடம் இல்லை என்றால் என்ன நடக்கும்? அவர்கள் "60"[ Babylonian 60] ஐ ,"1" [ Babylonian 1=Y] மாதிரியே எழுதுவார்கள்.அதே மாதிரி அவர்களின் "10"[Babylonian 10= <], "10" அல்லது "10 x 60"...இப்படி அதன் பெறுமானத்தை பெரும்.......

    ...அவன் கிட்டத்தட்ட " Babylonian 9 [Y Y Y Y Y Y Y Y Y ] Babylonian 50[ <<<<<]".மீன்களை பிடித்தான்.இந்த காலத்தில் அவன் குடும்பம் சாப்பிட "Y Y Y Y Y" மீன் தேவைப் படுகிறது.மிகுதியை அவன் மற்றவர்களுக்கு விற்றான். "நாம் இப்ப சாத்தியமான விபரங்களை கிழே தருகிறோம்.....

    ....."Y Y Y Y Y Y Y Y Y <<<<<" என்பது 9 x 60 + 50 = 590 ஐ குறிக்கும்.அது ஓரளவு சரியே.அல்லது அது 9 x 60 x 60 + 50 x 60 = ,....என ஏதாவது ஒன்றை குறிக்கும்.இது நடைமுறை சாத்தியம் அற்ற மிகப் பெரிய தொகை.ஆகவே அவன் பிடித்த மீன் ஒரு மாதத்திற்கு 590 ஆகும்.
    அவன் குடும்பம் ஒரு மாதத்திற்கு சாப்பிட்ட மீனின் தொகை:"Y Y Y Y Y" என்பது 5,இது மிக மிக குறைந்த தொகை அல்லது 5 x 60 = 300,இது ஏற்றுக் கொள்ளக் கூடிய சாத்தியமான தொகை, அல்லது 5 x 60 x 60 = 18,000,இது மிக மிக கூடிய தொகை. ஆகவே அவனின் குடும்பம் ஒரு மாதத்திற்கு சாப்பட்டது 300 ஆகும்......

    ReplyDelete
  2. அருமையான தொகுப்பு.ஆழமான அலசல்.அருமையான தகவல்.

    ReplyDelete